কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে 78, 182 ও 195 কে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ...

সমস্যাটি সমাধান করতে আমরা ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ করব। আমাদের লক্ষ্য হলো এমন একটি বৃহত্তম সংখ্যা খুঁজে বের করা, যা $564$ এবং $630$ -কে ভাগ করলে প্রতিটি ক্ষেত্রে ৩ ভাগশেষ থাকে।

ধাপ ১: শর্ত থেকে সম্পর্ক স্থাপন

যদি $N$ সংখ্যাটি $564$ এবং $630$ -কে ভাগ করার সময় ভাগশেষ $3$ থাকে, তাহলে আমরা বলতে পারি:

\quad \text{এবং} \quad 630 - 3 = 627

অর্থাৎ, সেই সংখ্যা $N$ হতে হবে ৫৬১ এবং ৬২৭-এর গ.সা.গু (GCD)।

ধাপ ২: 561 এবং 627-এর গ.সা.গু নির্ণয়

গ.সা.গু নির্ণয়ের জন্য আমরা ইউক্লিডীয় পদ্ধতি ব্যবহার করব:

প্রথম ধাপ: $627 \div 561$ :
ভাগফল $1$ এবং ভাগশেষ $627 - 561 = 66$ ।

অর্থাৎ,
$GCD(561,627)=GCD(561,66)\text{GCD}(561, 627) = \text{GCD}(561, 66)$
দ্বিতীয় ধাপ: $561 \div 66$ :
ভাগফল $8$ এবং ভাগশেষ $\times 8 = 561 - 528 = 33$ ।

অর্থাৎ,
$GCD(561,66)=GCD(66,33)\text{GCD}(561, 66) = \text{GCD}(66, 33)$
তৃতীয় ধাপ: $66 \div 33$ :
ভাগফল $2$ এবং ভাগশেষ $0$ ।

সুতরাং,
$GCD(66,33)=33\text{GCD}(66, 33) = 33$

ধাপ ৩: যাচাই

আমরা পেলাম $561$ এবং $627$ -এর গ.সা.গু হলো $33$ ।
এখন $N = 33$ হলে:

$564 \div 33 = 17$ ভাগশেষ $3$
$630 \div 33 = 19$ ভাগশেষ $3$

উভয় ক্ষেত্রেই শর্ত পূরণ হচ্ছে।

চূড়ান্ত উত্তর:

বৃহত্তম সংখ্যা হলো ৩৩।

কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে 78, 182 ও 195 কে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না তা হিসাব করি।

ChatGPT

সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমাদের 78, 182 ও 195 সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু (GCD) বের করতে হবে। গ.সা.গু হলো সেই বৃহত্তম সংখ্যা যা দিয়ে প্রতিটি সংখ্যা ভাগ করা যায় এবং কোনো ভাগশেষ থাকে না।

ধাপ ১: গ.সা.গু নির্ণয়ের জন্য ইউক্লিডীয় পদ্ধতি

প্রথমে 78 এবং 182-এর গ.সা.গু বের করি:

$182 \div 78$ :
ভাগফল $2$ এবং ভাগশেষ $\times 2 = 182 - 156 = 26$ ।

অর্থাৎ,
$GCD(78,182)=GCD(78,26)\text{GCD}(78, 182) = \text{GCD}(78, 26)$
$78 \div 26$ :
ভাগফল $3$ এবং ভাগশেষ $0$ ।

সুতরাং,
$GCD(78,182)=26\text{GCD}(78, 182) = 26$

এবার 26 এবং 195-এর গ.সা.গু বের করি:

$195 \div 26$ :
ভাগফল $7$ এবং ভাগশেষ $\times 7 = 195 - 182 = 13$ ।

অর্থাৎ,
$GCD(26,195)=GCD(26,13)\text{GCD}(26, 195) = \text{GCD}(26, 13)$
$26 \div 13$ :
ভাগফল $2$ এবং ভাগশেষ $0$ ।

সুতরাং,
$GCD(26,13)=13\text{GCD}(26, 13) = 13$

ধাপ ২: চূড়ান্ত গ.সা.গু

আমরা পেয়েছি:

GCD(78,182,195)=13\text{GCD}(78, 182, 195) = 13

ধাপ ৩: যাচাই

$78 \div 13 = 6$ (ভাগশেষ 0)
$182 \div 13 = 14$ (ভাগশেষ 0)
$195 \div 13 = 15$ (ভাগশেষ 0)

সব ক্ষেত্রেই ভাগশেষ $0$ পাওয়া যাচ্ছে।

চূড়ান্ত উত্তর:

বৃহত্তম সংখ্যা হলো ১৩

আরও শিখুন