পাটিগণিত (Algebra) গণিতের একটি মৌলিক শাখা, যা সংখ্যা, ভেরিয়েবল, এবং অক্ষরের মাধ্যমে সম্পর্কের মধ্যে নিয়ম, সূত্র ও অংক নির্ণয় করে। পাটিগণিতের বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করে আমরা অতি সহজে জটিল গাণিতিক সমস্যা সমাধান করতে পারি। চলুন দেখে নিই কিছু গুরুত্বপূর্ণ পাটিগণিতের সূত্র।

১. যুগপৎ সূত্র (Associative Law)

যুগপৎ সূত্র দুটি গুরুত্বপূর্ণ অপারেশন—যোগ এবং গুণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

• যোগের জন্য: $(a+b)+c=a+(b+c)$
• গুণের জন্য: $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$
  এখানে, অপারেশনগুলির অবস্থান পরিবর্তন করা হলেও ফলাফলে কোনো পরিবর্তন হয় না।

২. পরিবর্তক সূত্র (Commutative Law)

এটি যোগ এবং গুণের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

• যোগের জন্য: $a+b=b+a$
• গুণের জন্য: $a\times b=b\times a$
  এখানে, দুইটি সংখ্যার স্থান পরিবর্তন করলেও ফলাফলে কোনো পার্থক্য হয় না।

৩. পদক্ষেপসূত্র (Distributive Law)

গণনা করার সময় একটি সংখ্যাকে দুটি অন্য সংখ্যার যোগফলে গুণ করা হলে এটি পদক্ষেপসূত্রে চলে আসে।
$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$
এই সূত্রটি গুণ এবং যোগের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।

৪. দ্বিগুণের সূত্র (Square of Binomial)

যখন দুটি সংখ্যার যোগফলের বর্গমূল বের করতে হয়, তখন দ্বিগুণের সূত্র ব্যবহার করা হয়।
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a+b)2=a2+2ab+b2
এটি সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করতে খুবই সহায়ক।

৫. বিনিময় সূত্র (Difference of Squares)

এই সূত্রটি দুটি বর্গসংখ্যার পার্থক্যের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)a2−b2=(a−b)(a+b)
এই সূত্রটি গাণিতিক সমীকরণের সমাধানে কার্যকরী।

৬. তিনটি বর্গের সমীকরণ (Cubic Identities)

তিনটি বর্গের সমীকরণে দ্বিগুণ বা ত্রৈমাসিক সংখ্যা দ্বারা একত্রিত করা যায়।

• (a+b+c)3=a3+b3+c3+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c)(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3ab(a + b) + 3ac(a + c) + 3bc(b + c)(a+b+c)3=a3+b3+c3+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c)
  এটি তিনটি সংখ্যার বর্গ থেকে ত্রৈমাসিক গাণিতিক সম্পর্ক প্রদর্শন করে।

৭. যোগফলের গুণফল সূত্র (Sum and Product of Roots)

যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0 হয়, তবে তার মূলের যোগফল এবং গুণফল হয়:

• যোগফল: x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}x1​+x2​=−ab​
• গুণফল: x1×x2=cax_1 \times x_2 = \frac{c}{a}x1​×x2​=ac​

৮. কিউবের বর্গ সূত্র (Cube of a Binomial)

যখন একটি বাইনারি (দ্বিবিধ) সংখ্যা তিনবার গুণ করা হয়, তখন এই সূত্র ব্যবহার হয়:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
এটি সাধারণত গুণফল গাণিতিক সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়।

৯. বর্গমূলের সূত্র (Square Root Identities)

কিছু গুরুত্বপূর্ণ বর্গমূলের সূত্র রয়েছে, যেমন:

• a×b=a×b\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}a​×b​=a×b​
• a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|a2​=∣a∣
  এই সূত্রগুলি বর্গমূলের ব্যবহার সহজ করে।

১০. পৃথকীকরণ সূত্র (Factorization Identities)

যখন কোনো গাণিতিক অভিব্যক্তি পৃথকীকৃত করা হয়, তখন এই সূত্রগুলি ব্যবহার করা হয়।

• a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2a2+2ab+b2=(a+b)2
• a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2a2−2ab+b2=(a−b)2

উপসংহার

পাটিগণিতের সূত্রসমূহ গণনা এবং গাণিতিক সমস্যার সমাধানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এই সূত্রগুলি আমাদের বিভিন্ন সমস্যার দ্রুত এবং সঠিক সমাধান করতে সহায়ক। এটি প্রতিটি ছাত্র এবং গাণিতিক অনুশীলনের জন্য অত্যাবশ্যক, এবং এটি জীবনের বিভিন্ন ক্ষেত্রে কার্যকরী হতে পারে, যেমন অর্থনীতি, প্রকৌশল, বিজ্ঞান ইত্যাদি।

এই সব সূত্র মনে রেখে, আমরা যেকোনো ধরনের গাণিতিক সমীকরণ সহজে সমাধান করতে পারি।