গণিতে অন্তর (Difference) মানে হলো দুইটি মানের মধ্যে পার্থক্য বা ব্যবধান। এটি সাধারণত বিয়োগ চিহ্ন (-) ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয়।\n\nউদাহরণ:\n\n1. যদি দুইটি সংখ্যা হয় $a$ এবং $b$, তবে তাদের অন্তর হলো: \n $a-b$\n\n2. উদাহরণস্বরূপ: \n যদি $a=10$ এবং $b=4$ হয়, তাহলে অন্তর: \n $10-4=6$\n\n### অন্তর বিভিন্ন প্রেক্ষাপটে:\n\n1. সাধারণ গণিতে: দুই সংখ্যা বা মানের মধ্যে সরাসরি বিয়োগ ফল।\n2. বীজগণিতে: দুটি রাশির মধ্যে পার্থক্য যেমন $x-y$।\n3. কালান্তর বা পার্থক্য গণনা: ধারাবাহিক সংখ্যার ক্ষেত্রে একটি সংখ্যা থেকে তার পূর্ববর্তী সংখ্যার পার্থক্য। যেমন: a2−a1a_2 - a_1a2​−a1​, a3−a2a_3 - a_2a3​−a2​।\n4. সমান্তর ধারা (Arithmetic Sequence): ধারা বা সিরিজের প্রতিটি পরবর্তী পদ থেকে পূর্ববর্তী পদ বিয়োগ করে অন্তর নির্ণয় করা হয়। এটিকে সাধারণত ধারা বা কমন ডিফারেন্স বলা হয়।

গণিতে “অন্তর” শব্দটি সাধারণত ইন্টিগ্রাল (Integral) ধারণাকে নির্দেশ করে। এটি ক্যালকুলাসের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ, যা কোনো ফাংশনের ক্ষেত্রফল, সামষ্টিক মান, বা নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে যোগফল বের করার জন্য ব্যবহৃত হয়। অন্তর কেবল সংখ্যাগত মান হিসেবেই নয়, বাস্তব জীবনের বিভিন্ন সমস্যার সমাধানেও গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

অন্তরের প্রকারভেদ

গণিতে অন্তর প্রধানত দুটি প্রকারে বিভক্ত:

1. নির্দিষ্ট অন্তর (Definite Integral): নির্দিষ্ট অন্তর ব্যবহার করে কোনো ফাংশনের একটি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে ক্ষেত্রফল বা যোগফল নির্ণয় করা হয়। এটি সাধারণত নিচের মতো লেখা হয়:

   এখানে, এবং হল সীমা, এবং হল ফাংশন। এটি নির্দিষ্ট একটি মান প্রদান করে।

2. অনির্দিষ্ট অন্তর (Indefinite Integral): অনির্দিষ্ট অন্তর হলো এমন একটি অন্তর, যেখানে কোনো সীমা নির্ধারণ করা হয় না। এটি একটি সাধারণ ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভ বা প্রাথমিক ফাংশন প্রদান করে। এটি সাধারণত নিচের মতো লেখা হয়:

   এখানে, ফলাফল একটি ধ্রুবক সহ প্রকাশিত হয়, যা “ধ্রুবক যোগ” (Constant of Integration) নামে পরিচিত।

অন্তরের ব্যবহার

গণিতে অন্তরের ব্যবহার অনেক বিস্তৃত। এর মধ্যে কিছু গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার হলো:

1. ক্ষেত্রফল নির্ণয়: কোনো বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে অন্তরের সাহায্য নেওয়া হয়।

2. গতি ও দূরত্ব: যদি একটি বস্তু কোনো নির্দিষ্ট সময়ে কীভাবে চলছে তা ফাংশনের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়, তবে অন্তর ব্যবহার করে সেই বস্তুর মোট দূরত্ব নির্ণয় করা যায়।

3. ভর, ঘনত্ব ও ভলিউম: পদার্থবিজ্ঞানে বস্তু বা পদার্থের ভর, ঘনত্ব এবং আয়তন নির্ণয়ের ক্ষেত্রে অন্তরের প্রয়োগ হয়।

4. সমস্যার সমাধান: অন্তরের মাধ্যমে বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যার সমাধান করা সম্ভব, যেমন “ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ”।

অন্তরের মূল ধারণা

গণিতে অন্তরের ধারণা বোঝার জন্য এটি প্রয়োজন যে এটি আসলে সীমাহীন ছোট অংশগুলোর যোগফল। উদাহরণস্বরূপ, একটি বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য, আমরা বক্ররেখাটিকে অসংখ্য ছোট আয়তক্ষেত্রে বিভক্ত করি এবং তাদের ক্ষেত্রফল যোগ করি।

উপসংহার

“অন্তর” হলো গণিতে এমন একটি শক্তিশালী টুল, যা আমাদের ফাংশনের পরিবর্তনশীল আচরণ থেকে শুরু করে বাস্তব জীবনের জটিল সমস্যাগুলোর সমাধান করতে সাহায্য করে। এটি ক্ষেত্রফল, ভর, ভলিউম এবং আরও অনেক কিছুর নির্ণয়ে অপরিহার্য। ক্যালকুলাসের অন্তর অংশটি বুঝতে পারলে গণিত ও পদার্থবিজ্ঞানের অনেক গভীর তত্ত্ব সহজে বোঝা সম্ভব।